内祝いを断られてしまった場合は？

相手によりますが、自身の親などきわめて親しい間柄なら「お返しは結構」という先方の気持ちを汲んで、お礼状だけにしておくことも構わないでしょう。
しかし、一般的には「お返しは結構ですから」というのは表向きの言葉である場合が多いため、返礼はしておくのが無難でしょう。

出産後、日数が経過してからいただいた場合は？

基本的に、出産内祝いというのはお宮参り（生後1ヶ月頃）の時期に贈ります。 それ以降でも出産祝いをいただいた場合は時期に関係なく内祝いを贈るのがマナーです。
いただいてから3日以内に電話、手紙などでお礼を伝えましょう。その後1ヶ月以内に内祝いを贈るようにしましょう。

病院の先生に贈りたい時には？

出産した病院の医師や看護師に対してのお礼は、基本的には必要ありません。 公立病院などをはじめとして、患者からの金品受け取りが禁止されているというところもあります。かえってご迷惑になる場合もあるようです。
どうしても何かお礼をという場合は個人ではなく、全員で分けられるような菓子折りを選ぶという方法もありますが、これすら金品授受として禁じている場合もありますので、事前に調べておいた方がよいでしょう。